概要:
大学編入(高専専攻科進学)を目指す学生を対象に,微分積分の分野(微分,積分,偏微分,重積分,微分方程式)について,実際の編入問題をもとに詳しく解説する.
授業の進め方・方法:
授業では主に問題の解説をするので,各自,次回の範囲の問題を解いて準備しておくこと.
定期試験の平均点で評価し,60点以上で合格とする.60点以上の場合,授業態度などを10%の範囲で加減する.再試験は行わない.
(関連科目) 2年数学A,3年数学
注意点:
第2学年および第3学年で学んだ微分,積分,偏微分,重積分,微分方程式の知識を前提とするので復習しておくこと.
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
前期 |
1stQ |
1週 |
関数の連続性と微分可能性 |
関数の連続性と微分可能性を判定することができる
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2週 |
導関数の計算 |
いろいろな方法で導関数を求めることができる
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3週 |
極限と連続性 関数の増減とグラフの概形 |
連続性を用いて,極限を求めることができる 関数の増減・凹凸を調べ,グラフを描くことができる
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4週 |
べき級数と収束半径 有理関数の積分 |
べき級数の収束半径を求めることができる 部分分数分解を用いて,有理関数を積分することができる
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5週 |
三角関数・無理関数の積分 |
置換積分法を用いて,三角関数・無理関数を積分することができる
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6週 |
区分求積法 広義積分 |
区分求積法を用いて,極限を積分に直し計算することができる 関数の極限を求め,広義積分することができる
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7週 |
部分積分法による漸化式 微分積分学の基本定理 |
部分積分法を用いてできる漸化式の一般項を求めることができる 微分積分学の基本定理を用いて,関数を微分することができる
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8週 |
前期中間試験 |
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2ndQ |
9週 |
回転体の体積 陰関数の極値 |
回転体の体積を求めることができる 陰関数を微分し,極値を求めることができる
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10週 |
2変数関数の極値 |
判定法が使えない場合にも2変数関数の極値を求めることができる
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11週 |
2変数関数の最大・最小 2重積分の計算 |
条件付き極値を用いて,2変数関数の最大値・最小値を求めることができる 2重積分を計算することができる
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12週 |
2重積分の変数変換 広義重積分 |
変数変換して,2重積分を計算することができる 適当な有界領域を作り,広義重積分することができる
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13週 |
立体の体積 |
立体の正射影を求め,2重積分を用いて立体の体積を求めることができる
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14週 |
3重積分 1階微分方程式 |
球面座標・円柱座標に変換して,3重積分を計算することができる 変数変換を用いて,1階微分方程式を解くことができる
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15週 |
2階微分方程式 |
右辺が積の形の定数係数2階線形微分方程式を解くことができる
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16週 |
前期期末試験 |
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分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
基礎的能力 | 数学 | 数学 | 数学 | 微分係数の意味や、導関数の定義を理解し、導関数を求めることができる。 | 3 | |
積・商の導関数の公式を用いて、導関数を求めることがができる。 | 3 | |
合成関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
三角関数・指数関数・対数関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
関数の増減表を書いて、極値を求め、グラフの概形をかくことができる。 | 3 | |
極値を利用して、関数の最大値・最小値を求めることができる。 | 3 | |
2次の導関数を利用して、グラフの凹凸を調べることができる。 | 3 | |
関数の媒介変数表示を理解し、媒介変数を利用して、その導関数を求めることができる。 | 3 | |
不定積分の定義を理解し、簡単な不定積分を求めることができる。 | 3 | |
置換積分および部分積分を用いて、不定積分や定積分を求めることができる。 | 3 | |
定積分の定義と微積分の基本定理を理解し、簡単な定積分を求めることができる。 | 3 | |
分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数の不定積分・定積分を求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、立体の体積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
合成関数の偏微分法を利用して、偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
簡単な関数について、2次までの偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
偏導関数を用いて、基本的な2変数関数の極値を求めることができる。 | 3 | |
2重積分の定義を理解し、簡単な2重積分を累次積分に直して求めることができる。 | 3 | |
極座標に変換することによって2重積分を求めることができる。 | 3 | |
2重積分を用いて、簡単な立体の体積を求めることができる。 | 3 | |
微分方程式の意味を理解し、簡単な変数分離形の微分方程式を解くことができる。 | 3 | |
簡単な1階線形微分方程式を解くことができる。 | 3 | |
定数係数2階斉次線形微分方程式を解くことができる。 | 3 | |
1変数関数のテイラー展開を理解し、基本的な関数のマクローリン展開を求めることができる。 | 3 | |