到達目標
工学の基本的問題を解決するために必要な数学の知識,計算技術および応用能力を修得させ,この知識および技術等を工学における現象面と関連づけて活用する能力を養う。具体的にはラプラス変換,フーリエ級数およびフーリエ変換の数学的概念を理解し,それぞれの変換や級数を求めることができる。また,それぞれの変換や級数を基本的理工学問題に応用できる。
ルーブリック
| 理想的な到達レベルの目安 | 標準的な到達レベルの目安 | 未到達レベルの目安 |
フーリエ解析 | フーリエ級数およびフーリエ変換の数学的概念を理解し,具体的な関数についてそれぞれの変換や級数を求めることができる。また,それぞれの変換や級数を基本的理工学問題に応用できる。 | 具体的な関数のフーリエ級数やフーリエ変換を求めることができる。また,それらを基本的理工学問題に応用できる。 | 具体的な関数のフーリエ級数やフーリエ変換を求められない。 |
ラプラス変換 | ラプラス変換の数学的概念を理解し,具体的な関数の変換を求めることができる。更にそれらを基本的理工学問題に応用できる。 | 具体的な関数のラプラス変換を求められる。更にそれらを基本的理工学問題に応用できる。 | 具体的な関数のラプラス変換を求められない。 |
学科の到達目標項目との関係
教育方法等
概要:
第3学年までの数学をベースとして,理工学の基礎となるラプラス変換,フーリエ級数およびフーリエ変換を学ぶ。これらは特に,物性物理学,電気回路,自動制御,線形システム,通信理論,信号処理,画像処理などの物理的,工学的問題の解決に欠かせない数学的手段となっている。これらの問題では,システムのモデルが線形微分方程式で表されることが多く,その解法にラプラス変換やフーリエ変換を用いることも多い。またフーリエ変換は周期信号や非周期信号の周波数解析にも利用され,身近な音響機器などにも活用されている。本講義では,受講学生が将来技術者となったときに数学を理工学の道具として使えることを目的とし,ラプラス変換やフーリエ級数,フーリエ変換の公式や性質を理解し基本的計算に習熟することばかりでなく,理工学分野の応用という観点からの理解も深めたい。
授業の進め方・方法:
ラプラス変換・フーリエ解析ともに反転授業の形式で行う。(授業前)教科書をよく読み,「例題」を事前に解いてくること。(授業時)理解を深めるために教科書の「問」を解く機会をできるだけ多くとる。(授業後)「例題」と「問」の解答を「レポート」としてまとめて提出すること。
注意点:
本科目の学習内容は,物理学,工学分野への応用に欠かせない。部分分数展開,基本的な関数の性質,三角関数の性質,指数関数の性質,各関数の微分・積分については,基本概念の把握および計算に充分習熟しているものとして進める。この科目は相当の自習時間も授業の一環とみなされる。予習,復習に加え教科書の「例題」「問」および別冊の問題集を解くなど,自ら積極的に学習する姿勢が最も重要である。
授業計画
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
前期 |
1stQ |
1週 |
【フーリエ解析】 §1. フーリエ級数 周期2πの関数のフーリエ級数 |
周期関数とは何か理解できる。偶関数,奇関数によるフーリエ級数の違いを理解できる。
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2週 |
【フーリエ解析】 一般の周期関数のフーリエ級数 |
一般の周期関数をフーリエ級数で表現できる。
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3週 |
【フーリエ解析】 複素フーリエ級数 |
一般の周期関数を複素フーリエ級数で表現できる。
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4週 |
【フーリエ解析】 §2. フーリエ変換 フーリエ変換と積分定理 |
フーリエ変換の定義を理解し,簡単な関数のフーリエ変換ができる。フーリエ積分定理の意義を理解し,それを応用できる。
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5週 |
【フーリエ解析】 フーリエ変換の性質と公式 |
フーリエ変換の性質とその証明法を理解できる。フーリエ変換の性質を利用できる。
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6週 |
【フーリエ解析】 スペクトル |
関数のスペクトルを求めることができる。
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7週 |
【フーリエ解析】 中間試験 |
フーリエ解析の基本的事項を理解できる。
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8週 |
【ラプラス変換】 §1. ラプラス変換の定義と性質 ラプラス変換の定義 |
ラプラス変換の定義を理解し,定義に基づいてラプラス変換を求められる。
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2ndQ |
9週 |
【ラプラス変換】 相似性と移動法則 |
ラプラス変換の基本的性質や法則を理解できる。
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10週 |
【ラプラス変換】 微分法則と積分法則 |
ラプラス変換の基本的性質や法則を用いて基本的な関数のラプラス変換が計算できる。
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11週 |
【ラプラス変換】 逆ラプラス変換 |
逆ラプラス変換とは何かを理解し,基本的な関数の逆ラプラス変換を求められる。
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12週 |
【ラプラス変換】 §2. ラプラス変換の応用 微分方程式への応用 |
基本的な線形微分方程式をラプラス変換を用いて解くことができる。
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13週 |
【ラプラス変換】 たたみこみ |
たたみこみの定義を理解し,具体的な関数のたたみこみを計算できる。
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14週 |
【ラプラス変換】 線形システムの伝達関数とデルタ関数 |
デルタ関数の性質を理解し,線形システムへ応用できる。
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15週 |
【ラプラス変換】 期末試験の返却 |
期末試験の答案返却と解説
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16週 |
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モデルコアカリキュラムの学習内容と到達目標
分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
評価割合
| 試験 | レポート | 合計 |
総合評価割合 | 70 | 30 | 100 |
基礎的能力 | 70 | 30 | 100 |
専門的能力 | 0 | 0 | 0 |
分野横断的能力 | 0 | 0 | 0 |