概要:
ベクトル解析と複素関数論は,工学の基礎的分野である流体力学や電磁気学を学ぶ際に必要不可欠な数学的知識である.本講義では,重要な定理・公式や基本的な計算方法について講義する.
授業の進め方・方法:
主に講義形式で行う.
注意点:
2・3年次の微分積分学・解析学・線型代数学で学んだ内容を十分に理解しておく事.履修する内容に比べ問題演習に充てられる時間が必ずしも十分ではないので,復習をしっかり行って欲しい.
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
前期 |
1stQ |
1週 |
ガイダンス |
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2週 |
ベクトルの内積・外積 |
ベクトルの内積・外積の計算が出来る.
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3週 |
ベクトル値関数 |
ベクトル値関数の微分の計算が出来る.
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4週 |
曲線 |
曲線の方程式を求める事が出来る. 曲線の接ベクトルを求める事が出来る.
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5週 |
曲面 |
曲面の方程式を求める事が出来る. 曲面の法線ベクトルを求める事が出来る.
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6週 |
スカラー場の勾配
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スカラー場の勾配を求める事が出来る.
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7週 |
ベクトル場の発散 |
ベクトル場の発散を求める事が出来る.
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8週 |
ベクトル場の回転 |
ベクトル場の回転を求める事が出来る.
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2ndQ |
9週 |
前期中間試験 |
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10週 |
線積分 |
スカラー場の線積分を求める事が出来る. ベクトル場の線積分を求める事が出来る.
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11週 |
面積分 |
スカラー場の面積分を求める事が出来る. ベクトル場の面積分を求める事が出来る.
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12週 |
ガウスの発散定理 |
ガウスの発散定理を用いて,スカラー場の体積分を求める事が出来る.
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13週 |
ストークスの定理 |
ストークスの定理を用いて,ベクトル場の面積分を求める事が出来る.
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14週 |
グリーンの公式・グリーンの定理 |
ガウスの発散定理・ストークスの定理を用いて,グリーンの公式・グリーンの定理を説明する事が出来る.
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15週 |
前期末試験 |
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16週 |
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後期 |
3rdQ |
1週 |
複素数 |
複素数の基本的な取り扱いが行う事が出来る.
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2週 |
複素関数 |
複素数値関数の微分の計算が出来る.
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3週 |
正則関数 |
複素数値関数と正則関数の違いを説明する事が出来る.
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4週 |
コーシー・リーマンの関係式 |
コーシー・リーマンの関係式の説明する事が出来る.
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5週 |
色々な正則関数 |
色々な正則関数の微分の計算が出来る.
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6週 |
正則関数による写像 |
正則関数によってz平面からw平面に写された図形を図示する事が出来る.
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7週 |
逆関数 |
正則関数の逆関数となる多価関数の取り扱いを行う事が出来る.
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8週 |
後期中間テスト |
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4thQ |
9週 |
複素積分 |
複素数値関数の積分の計算が出来る.
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10週 |
コーシーの積分定理 |
コーシーの積分定理を用いて,正則関数の積分の計算が出来る.
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11週 |
コーシーの積分表示 |
コーシーの積分表示を用いて,正則関数の値を求める事が出来る.
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12週 |
複素級数 |
正則関数のテーラー展開を求める事が出来る.
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13週 |
ローラン展開 |
正則関数のローラン展開を求める事が出来る.
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14週 |
孤立特異点と留数定理 |
正則関数の留数を求める事が出来る.
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15週 |
後期末試験 |
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16週 |
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分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
基礎的能力 | 数学 | 数学 | 数学 | ベクトルの定義を理解し、ベクトルの基本的な計算(和・差・定数倍)ができ、大きさを求めることができる。 | 3 | |
平面および空間ベクトルの成分表示ができ、成分表示を利用して簡単な計算ができる。 | 3 | |
平面および空間ベクトルの内積を求めることができる。 | 3 | |
問題を解くために、ベクトルの平行・垂直条件を利用することができる。 | 3 | |
空間内の直線・平面・球の方程式を求めることができる(必要に応じてベクトル方程式も扱う)。 | 3 | |
簡単な場合について、関数の極限を求めることができる。 | 3 | |
微分係数の意味や、導関数の定義を理解し、導関数を求めることができる。 | 3 | |
積・商の導関数の公式を用いて、導関数を求めることがができる。 | 3 | |
合成関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
三角関数・指数関数・対数関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
逆三角関数を理解し、逆三角関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
関数の媒介変数表示を理解し、媒介変数を利用して、その導関数を求めることができる。 | 3 | |
不定積分の定義を理解し、簡単な不定積分を求めることができる。 | 3 | |
置換積分および部分積分を用いて、不定積分や定積分を求めることができる。 | 3 | |
定積分の定義と微積分の基本定理を理解し、簡単な定積分を求めることができる。 | 3 | |
分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数の不定積分・定積分を求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、曲線で囲まれた図形の面積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、曲線の長さを定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、立体の体積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な1変数関数の局所的な1次近似式を求めることができる。 | 3 | |
1変数関数のテイラー展開を理解し、基本的な関数のマクローリン展開を求めることができる。 | 3 | |
オイラーの公式を用いて、複素数変数の指数関数の簡単な計算ができる。 | 3 | |