工学や科学において、現象を理解する際は、まずモデルを作り、これを数式で表す。本講においてはそれらの代表的な例として、フーリエ解析を取り上げて学習する。これにより、数学を専門分野に応用する方法について理解する。
概要:
数学の授業では、多くの数式を取り扱うが、それらの全ては論理的に関係しており、元をたどれば、単純な数個の考えや式から出発していることがほとんどである。そこを見誤ると、数学は無意味な式の羅列と化してしまう。本講では、それが起こらないよう気を配り、出発点はどこで、目標はどこであるかを常に意識できるよう授業を進めてゆく。
授業の進め方・方法:
フーリエ級数展開やフーリエ変換についてパワーポイントを用いて授業を行い、終了後にファイルを配布する。
毎週課題を課し、採点結果を成績に反映させる。
注意点:
数式を目で見ただけで理解するのは極めて困難である。授業中にノートを取ることを大切にし、後で見ても理解できるように、授業中に教員が話したことも、メモを取る習慣をつけてほしい。また、予習復習を心掛けること。
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
| 後期 |
| 3rdQ |
| 1週 |
イントロダクション |
フーリエ級数展開、フーリエ変換とは何か？何の役に立つか等について理解する。
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| 2週 |
フーリエ級数展開 1 |
三角関数の直交性について理解する。
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| 3週 |
フーリエ級数展開 2 |
フーリエ級数展開の方法について理解する。
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| 4週 |
演習 |
フーリエ級数展開について演習を通して理解する。
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| 5週 |
フーリエ級数展開と関数の偶奇性 1 |
関数の対称性と展開結果との関係について理解する。
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| 6週 |
フーリエ級数展開と関数の偶奇性 2 |
フーリエ正弦展開及び余弦展開について理解する。
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| 7週 |
演習 |
フーリエ級数展開と関数の偶奇性について、演習を通して理解する。
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| 8週 |
複素フーリエ級数展開 |
ベクトル空間との類似性を踏まえ、複素展開を理解する。
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| 4thQ |
| 9週 |
中間試験 |
中間試験を受験し、十分な得点を取る。
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| 10週 |
フーリエ級数展開と再現性 |
関数に不連続点がある場合のフーリエ級数展開について理解する。
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| 11週 |
演習 |
複素フーリエ級数展開及び、フーリエ級数展開の再現性について演習を通して理解する。
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| 12週 |
フーリエ変換 1 |
フーリエ級数展開において、関数の周期を無限大にした場合について理解する。
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| 13週 |
フーリエ変換 2 |
コーシーの留数定理を踏まえ、フーリエ積分を行う方法を理解する。
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| 14週 |
フーリエ変換 3 |
パーセバルの定理を踏まえたフーリエ積分について理解する。
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| 15週 |
演習 |
フーリエ変換の基礎計算について、演習を通して理解する。
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| 16週 |
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| 分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
| 基礎的能力 | 数学 | 数学 | 数学 | 加法定理および加法定理から導出される公式等を使うことができる。 | 3 | |
| 簡単な場合について、関数の極限を求めることができる。 | 3 | |
| 微分係数の意味や、導関数の定義を理解し、導関数を求めることができる。 | 3 | |
| 積・商の導関数の公式を用いて、導関数を求めることがができる。 | 3 | |
| 合成関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
| 三角関数・指数関数・対数関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
| 置換積分および部分積分を用いて、不定積分や定積分を求めることができる。 | 3 | |
| 分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数の不定積分・定積分を求めることができる。 | 3 | |
| 簡単な場合について、曲線で囲まれた図形の面積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
| 簡単な場合について、曲線の長さを定積分で求めることができる。 | 3 | |
| 簡単な場合について、立体の体積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
| 2変数関数の定義域を理解し、不等式やグラフで表すことができる。 | 3 | |
| 合成関数の偏微分法を利用して、偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
| 簡単な関数について、2次までの偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
| 偏導関数を用いて、基本的な2変数関数の極値を求めることができる。 | 3 | |
| 2重積分の定義を理解し、簡単な2重積分を累次積分に直して求めることができる。 | 3 | |
| 極座標に変換することによって2重積分を求めることができる。 | 3 | |
| 2重積分を用いて、簡単な立体の体積を求めることができる。 | 3 | |
| オイラーの公式を用いて、複素数変数の指数関数の簡単な計算ができる。 | 3 | |