微分積分Ⅱ

科目基礎情報

学校 鈴鹿工業高等専門学校 開講年度 令和02年度 (2020年度)
授業科目 微分積分Ⅱ
科目番号 0068 科目区分 一般 / 必修
授業形態 授業 単位の種別と単位数 履修単位: 4
開設学科 電気電子工学科 対象学年 3
開設期 通年 週時間数 4
教科書/教材 教科書:高専の数学3(森北出版),問題集:新編高専の数学3問題集(森北出版)ドリルと演習シリーズ微分積分(電気書院),参考書:スチュワート微分積分学Ⅰ,Ⅱ(東京化学同人)
担当教員 伊藤 清

到達目標

1変数および2変数関数の微分積分法に関する基礎的概念・計算方法を習得し,関数の挙動の把握や求積問題,2変数関数の偏微分法や2重積分等の重要な問題に対して,様々な定理や計算方法を応用することができる.

ルーブリック

理想的な到達レベルの目安標準的な到達レベルの目安未到達レベルの目安
評価項目1微分積分Ⅰで学習した微分・積分に関する応用的な問題を解くことができる.微分積分Ⅰで学習した微分・積分に関する基本的な問題を解くことができる.微分積分Ⅰで学習した微分・積分に関する基本的な問題を解くことができない.
評価項目2多変数関数の偏微分・全微分の概念を理解し、関連する応用的な問題を解くことができる.多変関数の偏微分・全微分の概念を理解し、関連する基本的な問題を解くことができる.偏微分・全微分の考え方を理解しておらず、関連する基本的な問題を解くことができない.
評価項目3関数のテイラー展開および近似値等へのその応用に関する発展的な問題を解くことができる.関数のテイラー展開および近似値等へのその応用に関する基本的な問題を解くことができる.関数のテイラー展開および近似値等へのその応用に関する基本的な問題を解くことができない.
評価項目4リーマン和の極限としての定積分の定義・微積分法の基本定理について理解し、関連する応用的な問題を解くことができる.リーマン和の極限としての定積分の定義・微積分の基本定理について理解し、関連する基本的な問題を解くことができなる.定積分の定義や、微分と積分の関係が理解・定着しておらず、関連する基本的な問題を解くことができない.
評価項目52重積分に関する応用的な問題を解くことができる.2重積分に関する基本的な問題を解くことができる.2重積分に関する基本的な問題を解くことができない.

学科の到達目標項目との関係

教育方法等

概要:
微分積分学は自然科学や工学の学習の根幹をなす重要な学問である.まず微分積分Ⅰの内容に引き続き,1変数の2回導関数・高階導関数を利用した様々な応用について学び,さらに積分についても発展的な内容を扱う.また多変数の微分積分法について,偏微分,全微分,重積分などの基礎的な考え方と応用について学習する.
授業の進め方と授業内容・方法:
すべての内容は,学習・教育到達目標(B)<基礎>及びに対応する.
演習の時間には手計算だけでなく数式処理ソフトの使用による計算および描画を含む.
注意点:
<到達目標の評価方法と基準>下記授業計画の「到達目標」よりなる問題を中間試験および定期試験で出題し,目標の達成度を評価する. <学業成績の評価方法および評価基準> 前期末・後期中間・学年末試験を2:1:1の割合で平均した点を70%,小テストの成績や課題などを30%として評価する.ただし,前期末・後期中間の各試験で60点に達していない者には再試験を課し,再試験の成績が試験の成績を上回った場合には,60点を上限として再試験の成績に置き換える.学年末試験については再試験は実施しない.
<単位修得要件> 学業成績で60点以上を取得すること.
<あらかじめ要求される基礎知識の範囲> 本教科は微分積分ⅠとⅡ,線形代数ⅠとⅡの学習が基礎となる教科である.
<レポート等> 休業中の宿題のほか,授業中にも適宜小テスト・課題を課す.
<備項> 疑問点は授業中・授業後に質問するなどして,十分に理解してから次の授業に臨むこと.授業中の演習時間だけでは十分な時間が確保できないので,授業時間以外の時間において教科書・問題集などの多くの問題を解くように努力すること.本教科は後に学習する数学特講Ⅰ,Ⅱや応用数学Ⅰの基礎となる教科である.

授業計画

授業内容・方法 週ごとの到達目標
前期
1週 微分積分Iで学んだ微分法の復習,及び極値の判定条件 1.微分積分Ⅰで既習の微分・積分の計算が確実に出来る.
2.微分法を用いて,関数が極大・極小を取るかが判定できる.
2週 第2次導関数と曲線の凹凸,増減表への応用 3.第2次導関数を用いて,グラフの凹凸を調べ正確な概形が描ける.
3週 逆関数とその導関数,逆三角関数とその導関数 4.逆三角関数とその導関数について理解し,基本的な計算ができる.
4週 曲線の媒介変数表示とその導関数 5.曲線の媒介変数表示とその導関数について理解し,基本的な計算ができる.
5週 極座標表示と曲線 6.極座標表示と曲線について理解し,基本的な計算ができる.
6週 ロルの定理と平均値の定理 7.ロルの定理と平均値の意味を把握している.
7週 ロピタルの定理,不定形の極限値 8.ロピタルの定理について理解し,不定形の極限の計算に利用できる.
8週 数式処理ソフトの利用 上記1.~8.
9週 べき級数と収束半径,高次導関数 9.べき級数と収束半径について理解している.
10.高次導関数の計算が行える.
10週 テイラーの定理と近似式 11.テイラーの定理の意味と近似式への応用を理解し,計算ができる.
11週 マクローリン展開 12.マクローリン展開を利用し,基本的な関数の展開式が求め,これを利用して近似値の計算と誤差の評価ができる.
12週 マクローリン展開を用いた近似値と誤差の評価 上記12.
13週 2年生で学んだ積分の復習,無理関数の積分 13.無理関数の積分ができる.
上記1.
14週 分数関数の積分 14.分数関数の積分の計算ができる.
15週 三角関数の積分 15.三角関数の積分の計算ができる.
16週
後期
1週 定積分の定義と性質,区分求積法 16.定積分の定義と性質を理解し,区分求積法にそれを応用できる.
2週 図形の面積 17.図形の面積の計算を,積分法を用いて行える.
3週 回転体の体積と曲線の長さ 18.回転体の体積と曲線の長さの求め方を理解し,計算ができる.
4週 広義積分 19.広義積分について理解し,基本的な計算ができる.
5週 2変数関数のグラフと極限値 20.2変数関数の意味とグラフを理解し,極限値の計算ができる.
6週 偏導関数,高次偏導関数 21.2変数関数の導関数の概念を理解し,高次偏導関数の計算ができる.
7週 合成関数の微分公式, 全微分と接平面の方程式 22.2変数関数の合成関数や全微分を理解し,応用もできる.
8週 中間試験 上記1.16.~22.
9週 2変数関数の極値,Hessian 23.2変数関数の極値を理解し,Hessianを利用して極致を求めることができる.
10週 陰関数定理,Lagrange の乗数法 24.陰関数定理,Lagrange の乗数法を理解し,条件付き極値の計算ができる.
11週 重積分の定義  25.重積分の定義と意味を理解し,重積分を累次積分を利用して計算できる.
12週 重積分と累次積分 上記25.
13週 積分の順序変更と体積計算 26.積分順序の変更を利用できる。
27.重積分を用いて体積の計算ができる.
14週 極座標による重積分 28.極座標を用いた重積分を理解し,基本的な計算ができる.
15週 変数変換と Jacobian 29.変数変換と Jacobianの意味を理解し,基本的な計算ができる.
16週

評価割合

試験課題・宿題合計
総合評価割合7030100
配点7030100