微分方程式,確率統計,フーリエ解析、複素関数論に関して,それらの基本的事項を理解し,工学上の応用問題を解決するための数学的知識と計算技術を習得すること.
概要:
微分方程式,確率統計,フーリエ解析、複素関数論は,あらゆる工学の基礎であり,技術者にとって重要な応用数学の一分野である.したがって,微分方程式に関しては,基本的な性質や一般的な解法を理解し,それらを運用できることが必要である.また,確率統計,フーリエ解析、複素関数論に関しても,それらの基礎を理解し,工学上の応用問題を解決できる能力を養うことが必要である.
授業の進め方・方法:
・すべての内容は,学習・教育到達目標(B)<基礎>およびJABEE基準1(2)(c)に相当する.
・授業は講義形式とする.
・授業計画における各週の「到達目標」はこの授業で習得する「知識・能力」に相当するものとする.
注意点:
〈到達目標の評価方法と基準〉下記授業計画の「到達目標」を網羅した問題を2回の中間試験,2回の定期試験で出題し,目標の達成度を評価する.達成度評価における各「到達目標」の重みは概ね均等とする.評価結果が100点法で60点以上の場合に,目標の達成とする.
〈学業成績の評価方法および評価基準〉前期中間・前期末・後期中間・学年末の,計4回の試験結果の平均点を最終評価とする.成績不振者に対し,レポート・補講を課した後の再試験を実施する場合がある.ただし,学年末試験についての再試験は実施しない.
〈単位修得条件〉学業成績で60点以上を取得すること.
〈あらかじめ要求される基礎知識の範囲〉微分積分学,線形代数,順列と組み合せに関する基本的な理解が必要である.また,本教科の学習には,とくに「微分積分Ⅰ」「微分積分Ⅱ」の習得が必要である.
〈自己学習〉授業で保証する学習時間と,予習・復習(中間試験,定期試験,復習テストのための学習も含む)及びレポート作成に必要な標準的な学習時間の総計が,90時間に相当する学習内容である.
〈備考〉微分方程式,確率統計,フーリエ解析,複素関数論は,あらゆる工学の基礎であり,技術者にとって重要な応用数学の一分野である.基本的な例題を理解し,問題演習(トレーニング)に取り組むことが大切である. また,本教科は後に学習する「応用数学Ⅱ」に強く関連する教科である.
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
前期 |
1stQ |
1週 |
微分方程式と解 |
1.微分方程式の一般解,特殊解,特異解について理解している.
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2週 |
変数分離形 |
2.変数分離形の微分方程式を解くことができる.
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3週 |
同次形 |
3.同次形の微分方程式を解くことができる.
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4週 |
線形微分方程式 |
4. 1階線形微分方程式を解くことができる.
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5週 |
完全微分形 |
5.完全微分形の微分方程式を解くことができる
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6週 |
1階微分方程式の応用例 |
6.基本的な初期値問題と境界値問題を解くことができる.
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7週 |
定数係数2階線形微分方程式 |
7.定数係数の2階斉次線形微分方程式を解くことができる.
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8週 |
中間試験 |
これまでに学習した内容を理解し,微分方程式に関する具体的な問題を解くことができる.
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2ndQ |
9週 |
微分方程式についての補足 |
これまでの学習と試験の結果を振り返り,微分方程式への理解を深めることができる.
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10週 |
試行と事象、確率の意味 |
8.確率の定義と基本的性質を理解し,計算ができる.
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11週 |
確率の計算, 独立事象 |
8.確率の定義と基本的性質を理解し,計算ができる.
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12週 |
確率変数と確率分布,平均値・分散・標準偏差 |
9.確率分布の期待値,分散,標準偏差を理解している.
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13週 |
二項分布 |
10.二項分布を理解している.
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14週 |
1変量の平均値・分散 |
11.1変量の平均値,分散,標準偏差を理解している.
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15週 |
2変量の相関,回帰直線 |
12.2変量での相関係数,回帰直線を理解している.
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16週 |
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後期 |
3rdQ |
1週 |
母集団と標本,連続型確率分布 |
13.記述統計と推定統計の概念を理解できる.
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2週 |
正規分布 |
14.正規分布を理解し、応用することができる.
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3週 |
二項分布の正規分布による近似 |
14.正規分布を理解し、応用することができる.
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4週 |
周期2πの関数のフーリエ級数 |
15.周期関数のフーリエ級数を求めることができる.
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5週 |
一般の周期関数のフーリエ級数 |
15.周期関数のフーリエ級数を求めることができる.
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6週 |
複素フーリエ級数,微分方程式への応用 |
16.周期関数の複素フーリエ級数を求めることができる.
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7週 |
フーリエ変換の定義と性質 |
17.フーリエ変換の定義と基本的な性質を理解できる.
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8週 |
後期中間試験 |
これまでに学習した内容を理解し,統計,フーリエ級数に関する問題を解くことができる.
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4thQ |
9週 |
フーリエ変換と積分定理 |
17.フーリエ変換の定義と基本的な性質を理解できる.
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10週 |
偏微分方程式への応用 |
18.フーリエ解析と偏微分方程式について答えることができる.
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11週 |
スペクトル |
19.フーリエ解析と波形分析について答えることができる.
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12週 |
複素数と極形式 |
20.複素数の極形式を理解できる.
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13週 |
複素関数 |
21.複素関数の概念を理解し,計算ができる.
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14週 |
正則関数 |
22.正則関数の概念を理解し,計算ができる.
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15週 |
コーシー・リーマンの関係式 |
23.コーシー・リーマンの関係式を理解し,複素関数の正則性を判定することができる.
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16週 |
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分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
基礎的能力 | 数学 | 数学 | 数学 | 等差数列・等比数列の一般項やその和を求めることができる。 | 3 | |
総和記号を用いた簡単な数列の和を求めることができる。 | 3 | |
不定形を含むいろいろな数列の極限を求めることができる。 | 3 | |
無限等比級数等の簡単な級数の収束・発散を調べ、その和を求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、関数の極限を求めることができる。 | 3 | |
微分係数の意味や、導関数の定義を理解し、導関数を求めることができる。 | 3 | |
積・商の導関数の公式を用いて、導関数を求めることがができる。 | 3 | |
合成関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
三角関数・指数関数・対数関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
逆三角関数を理解し、逆三角関数の導関数を求めることができる。 | 3 | |
関数の増減表を書いて、極値を求め、グラフの概形をかくことができる。 | 3 | |
極値を利用して、関数の最大値・最小値を求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、関数の接線の方程式を求めることができる。 | 3 | |
2次の導関数を利用して、グラフの凹凸を調べることができる。 | 3 | |
関数の媒介変数表示を理解し、媒介変数を利用して、その導関数を求めることができる。 | 3 | |
不定積分の定義を理解し、簡単な不定積分を求めることができる。 | 3 | |
置換積分および部分積分を用いて、不定積分や定積分を求めることができる。 | 3 | |
定積分の定義と微積分の基本定理を理解し、簡単な定積分を求めることができる。 | 3 | |
分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数の不定積分・定積分を求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、曲線で囲まれた図形の面積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、曲線の長さを定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な場合について、立体の体積を定積分で求めることができる。 | 3 | |
簡単な1変数関数の局所的な1次近似式を求めることができる。 | 3 | |
1変数関数のテイラー展開を理解し、基本的な関数のマクローリン展開を求めることができる。 | 3 | |
オイラーの公式を用いて、複素数変数の指数関数の簡単な計算ができる。 | 3 | |
2変数関数の定義域を理解し、不等式やグラフで表すことができる。 | 3 | |
合成関数の偏微分法を利用して、偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
簡単な関数について、2次までの偏導関数を求めることができる。 | 3 | |
偏導関数を用いて、基本的な2変数関数の極値を求めることができる。 | 3 | |
2重積分の定義を理解し、簡単な2重積分を累次積分に直して求めることができる。 | 3 | |
極座標に変換することによって2重積分を求めることができる。 | 3 | |
2重積分を用いて、簡単な立体の体積を求めることができる。 | 3 | |
微分方程式の意味を理解し、簡単な変数分離形の微分方程式を解くことができる。 | 3 | |
簡単な1階線形微分方程式を解くことができる。 | 3 | |
定数係数2階斉次線形微分方程式を解くことができる。 | 3 | |