1. ベクトル解析における種々の微分・積分及び積分定理を理解し計算する事が出来る.
2. フーリエ級数・複素フーリエ級数・逆フーリエ変換を理解し種々の計算する事が出来る.
3. ラプラス変換を計算しLTIの解析をする事が出来る.
4. 複素関数、正則性、コーシーの定理等を理解し計算する事が出来る.
概要:
工学の専門科目を学ぶために必須と思われるベクトル解析・フーリエ解析・ラプラス解析・複素関数論を解説する。
数学的厳密さよりも、実際に計算し応用できるようになることを目的とする。
ベクトル解析とは大まかに言って「x,y,zを変数とするベクトルに関する微分積分」の事である。
フーリエ解析とは大まかに言って「信号の保存・伝達・解析の為に関数を無限次元のベクトルとみて三角関数の和で書く解析手法」の事である。
ラプラス変換とは大まかに言って「様々なシステムを表す微分方程式を変形して、代数方程式のように解析するための手法」である。
複素解析とは大まかに言って「変数・取りうる値のいずれもが複素数であるような関数に対する微分積分学」である。
本科目を受講する諸君には、受講後に上記のようなことを把握している事を望む。
特に扱う内容が高度になればなるほど、「今何をやっているのか？」を十分把握せねば一気に理解不能になる事に留意せよ。
授業の進め方・方法:
講義の基本的な流れは下記のようなものである
①前回の復習 ②板書を用いた内容の説明 ③例題の解答を示す ④演習
また、試験前には集中的な演習と、質疑応答の時間を設ける。
本講義ではスライドを用いず黒板で授業を行う。
また、各自が手書きのノートを作成する事を推奨する。
これは担当教員の経験から「数学をやるには、紙とペンを用意し、実際に書くことが最も重要」と考えられるからである。
*1 過去の定期試験の内容はBlackboardのコース「201535takuo.yamamoto」を参照されたい。
*2 再試験は年度に1度限り行う。9月末の補講期間に実施するのが慣例である。
*3 成績は基本的に定期試験のみで評価するが、レポート等を課すこともある
注意点:
1．数学は暗記科目ではない
100個の問題に対して100通りの解答法を暗記してはならない。
100個の問題を5通りの方法で解決できるなら良い勉強をしていると言ってよい。
また、それは実際に可能である。
２．他科目との関連
数学全科目、専門科目多数
数学は工学の要であるが、本講義で扱う内容は高学年での専門科目と特にかかわりが深い。
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
| 前期 |
| 1stQ |
| 1週 |
【内容】ベクトルの復習とベクトル値関数
【方法】数学IIBで習ったベクトルに関して簡単な復習を行う。また数学IIAで習った関数の拡張概念であるベクトル値関数について学ぶ。 |
ベクトルの復習とベクトル値関数を理解し、計算する事が出来る。
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| 2週 |
【内容】曲線の長さと曲面の面積
【方法】曲線・曲面をベクトル値関数で表し、その長さや面積を求められるようにする。 |
曲線の長さと曲面の面積を理解し、計算する事が出来る。
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| 3週 |
【内容】スカラー場とベクトル場及び勾配
【方法】例を交えてスカラー場とベクトル場を解説する。ナブラ演算子と勾配について学ぶ。 |
スカラー場とベクトル場及び勾配を理解し、計算する事が出来る。
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| 4週 |
【内容】ベクトル場の発散と回転
【方法】発散と回転を定義し、計算ができるようにする。 |
ベクトル場の発散と回転を理解し、計算する事が出来る。
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| 5週 |
【内容】線積分と面積分の計算
【方法】線積分と面積分を定義し、計算ができるようにする。 |
線積分と面積分の計算を理解し、計算する事が出来る。
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| 6週 |
【内容】ガウスの定理と発散の意味
【方法】ガウスの定理の証明の概略を示し、発散の直感的意味について学ぶ。また、電磁気学との関連性について述べる。 |
ガウスの定理と発散の意味を理解し、計算する事が出来る。
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| 7週 |
【内容】ストークスの定理と回転の意味
【方法】ストークスの定理の証明の概略を示し、回転の直感的意味について学ぶ。また、電磁気学との関連性について述べる。 |
ストークスの定理と回転の意味を理解し、計算する事が出来る。
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| 8週 |
【内容】中間試験
【方法】以上の範囲で試験を行う。 |
これまでの内容で中間試験を実施し、講義内容の理解度を確認する。
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| 2ndQ |
| 9週 |
【内容】関数空間の直交関数系と内積及びフーリエ級数の意味
【方法】3次元ベクトルとの類似からフーリエ級数を解説する。ベクトルの成分に当たるものがフーリエ係数であることを理解する。 |
関数空間の直交関数系と内積及びフーリエ級数の意味を理解し、計算する事が出来る。
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| 10週 |
【内容】フーリエ級数の計算
【方法】具体的にフーリエ級数を求められるようにする。一般の周期関数について理論の拡張を行う。 |
フーリエ級数の計算を理解し、計算する事が出来る。
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| 11週 |
【内容】フーリエ変換の定義と計算
【方法】フーリエ級数の周期を拡張することによってフーリエ変換を直感的に理解し、計算できるようにする。 |
フーリエ変換の定義と計算を理解し、計算する事が出来る。
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| 12週 |
【内容】フーリエ変換の性質及び畳み込み
【方法】フーリエ変換の持つ種々の性質を理解する。また、応用上重要な畳み込みを定義して計算してみる。 |
フーリエ変換の性質及び畳み込みを理解し、計算する事が出来る。
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| 13週 |
【内容】サンプリング定理
【方法】サンプリング定理を証明し、意味を説明する。 |
サンプリング定理を理解し、計算する事が出来る。
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| 14週 |
【内容】ディラックのデルタ関数とへヴィサイドのステップ関数
【方法】工学で重要なデルタ関数とステップ関数を用いた計算を行う。 |
ディラックのデルタ関数とへヴィサイドのステップ関数を理解し、計算する事が出来る。
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| 15週 |
【内容】期末試験
【方法】以上の範囲で試験を行う。 |
これまでの内容で期末試験を実施し、講義内容の理解度を確認する。
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| 16週 |
【内容】答案返却など
【方法】答案返却及び解説を行う。 |
これまでの内容の全体像を俯瞰する事が出来る。
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| 後期 |
| 3rdQ |
| 1週 |
【内容】複素数の復習
【方法】1年次に習った複素数について復習を行う。 |
複素数の復習を理解し、計算する事が出来る。
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| 2週 |
【内容】ラプラス変換の定義と計算
【方法】フーリエ変換の変形としてラプラス変換を導入し、いくつかの計算を行う。 |
ラプラス変換の定義と計算を理解し、計算する事が出来る。
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| 3週 |
【内容】相似性と移動法則及び微分積分法則
【方法】ラプラス変換に対する種々性質を示し、実際に計算に用いてみる。 |
相似性と移動法則及び微分積分法則を理解し、計算する事が出来る。
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| 4週 |
【内容】逆ラプラス変換とへヴィサイドの展開定理
【方法】逆ラプラス変換と変換表の使い方について学ぶ。 |
逆ラプラス変換とへヴィサイドの展開定理を理解し、計算する事が出来る。
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| 5週 |
【内容】微分方程式とラプラス変換
【方法】ラプラス変換を用いて微分方程式を解くことを学ぶ。 |
微分方程式とラプラス変換を理解し、計算する事が出来る。
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| 6週 |
【内容】ラプラス変換と畳み込み
【方法】応用上重要な畳み込みとラプラス変換について述べ、計算してみる。 |
ラプラス変換と畳み込みを理解し、計算する事が出来る。
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| 7週 |
【内容】古典的制御と線形時不変システム
【方法】LTIの安定性について簡単なモデルを扱い、ラプラス変換の応用に触れてみる。 |
古典的制御と線形時不変システムを理解し、伝達関数の計算をする事が出来る。
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| 8週 |
【内容】中間試験
【方法】以上の範囲で試験を行う。 |
これまでの内容で中間試験を実施し、講義内容の理解度を確認する。
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| 4thQ |
| 9週 |
【内容】複素関数の定義と性質
【方法】複素数が変数の複素数値関数を学ぶ。複素関数論における、べき・指数・三角関数について学ぶ。 |
複素関数の定義と性質を理解し、計算する事が出来る。
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| 10週 |
【内容】複素関数論と多価関数
【方法】対数関数と無理関数について簡単に触れる。 |
複素関数論と多価関数を理解し、計算する事が出来る。
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| 11週 |
【内容】複素関数の微分積分
【方法】正則関数及び複素積分について学ぶ。簡単な計算ができるようになることを目的とする。 |
複素関数の微分積分を理解し、計算する事が出来る。
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| 12週 |
【内容】コーシーの定理と積分定理及びグルサの定理
【方法】最も重要なコーシーの定理の意味を学ぶ。 |
コーシーの定理と積分定理及びグルサの定理を理解し、計算する事が出来る。
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| 13週 |
【内容】正則関数のテイラー展開と特異点周りのローラン展開
【方法】正則関数はいつでもテイラー展開できる事、孤立特異点周りでのローラン展開を学ぶ。 |
正則関数のテイラー展開と特異点周りのローラン展開を理解し、計算する事が出来る。
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| 14週 |
【内容】留数定理と実積分
【方法】ローラン展開を用いて留数定理を証明した後、実積分の計算に応用する。 |
留数定理と実積分を理解し、計算する事が出来る。
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| 15週 |
【内容】期末試験
【方法】以上の範囲で試験を行う。 |
これまでの内容で期末試験を実施し、講義内容の理解度を確認する。
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| 16週 |
【内容】答案返却など
【方法】答案返却の後、解説を行う。 |
これまでの内容の全体像を俯瞰する事が出来る。
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