応用数学Ⅱ

科目基礎情報

学校 香川高等専門学校 開講年度 令和04年度 (2022年度)
授業科目 応用数学Ⅱ
科目番号 221203 科目区分 専門 / 必修
授業形態 講義 単位の種別と単位数 履修単位: 2
開設学科 電気情報工学科(2019年度以降入学者) 対象学年 4
開設期 通年 週時間数 2
教科書/教材 教科書:「新応用数学」大日本図書,「線形代数学ー初歩からジョルダン標準形へ」培風館 三宅敏恒著
担当教員 北村 大地,吉岡 崇

到達目標

本科目は,科学技術の基礎知識と応用力を高める上に根幹となる重要な専門基礎科目である。
電気・電子・情報系の専門科目の習得に不可欠な高等数学としての解析力を養う。
前期では,工学解析として必要なフーリエ理論とラプラス変換について学び,単に数式の扱いだけではなく,物理現象との対応,数式の表す意味について深く考察し,理解することを目的とする。
後期では,多変量解析・最適化理論・統計学・機械学習・現代制御理論等,あらゆる応用分野の基礎となる線形代数について学び,より高度な専門分野に必要な数学的素養を身に着ける

ルーブリック

理想的な到達レベルの目安(優)標準的な到達レベルの目安(良)未到達レベルの目安(不可)
フーリエ変換やや複雑なパルス信号のフーリエ級数や手記的なひずみ波形のフーリエ変換を求めることができる。簡単な信号のフーリエ級数やフーリエ変換を求めることができる。簡単な信号のフーリエ級数やフーリエ変換を求めることができない。
ラプラス変換ラプラス変換の性質などを理解して,微分方程式の解法などに応用できる。ラプラス変換の性質などを理解して,簡単な関数のラプラス変換や逆変換を求めることができる。ラプラス変換の性質などを理解できず,簡単な関数のラプラス変換や逆変換を求めることができない。
ベクトル空間ベクトル空間に関する1次独立性や基・次元等の基本的な事項を理解し,関連する問題が解ける。ベクトル空間に関する1次独立性や基・次元等の基本的な事項を理解し,関連する簡単な問題が解ける。ベクトル空間に関連する問題が解けない。
線形写像と固有空間線形写像の核・像・階数等の性質を諸問題に応用でき,行列の対角化やジョルダン標準形を求められる。線形写像の核・像・階数等の性質を説明でき,行列の対角化やジョルダン標準形を求められる。線形写像の核・像・階数等の性質を説明できない。行列の対角化やジョルダン標準形ができない。

学科の到達目標項目との関係

教育方法等

概要:
本科目は,科学技術の基礎知識と応用力を高める上に根幹となる重要な専門基礎科目である。電気・電子・情報系の専門科目の習得に不可欠な高等数学としての解析力を養う。
前期で学ぶフーリエ理論とラプラス変換は,工学において極めて重要な数学的知識である。物理現象との対応を説明しながらその本質について講義する。
後期で学ぶベクトル空間,線形写像,行列の標準化の概念は電気・情報問わずあらゆる分野で登場するため,数式の表す意味について深く考察し,様々な問題に適用できる数学的素養を身に着けることを目標とする。
授業の進め方・方法:
教科書に沿って解説し,例題や問の一部を解く。
学生は残りの問や,章末の練習問題を自学自習として解く。また,基本的な数学の理解不足であれば事前に予習等を行う。
注意点:
・4回の試験結果(前期中間試験,前期期末試験,後期中間試験,後期期末試験)の平均点を評価とする。
・説明.証明問題では,数式等を用いて論理的に記述できているかどうかも含めて評価する。
・前期と後期で使用する教科書が異なる。

授業の属性・履修上の区分

アクティブラーニング
ICT 利用
遠隔授業対応
実務経験のある教員による授業

授業計画

授業内容 週ごとの到達目標
前期
1stQ
1週 フーリエ級数を理解するために必要な、三角関数に関する積分 フーリエ級数や変換を実行するために必要な積分を計算することが出来る。
2週 周期関数のフーリエ級数(1) 任意周期波形のフーリエ係数を求めることができる。
3週 周期関数のフーリエ級数(2) 任意周期波形のフーリエ係数を求めることができる。
4週 複素フーリエ級数(1) フーリエ係数を複素表示でき,任意波形の複素フーリエ係数を算出できる。
5週 複素フーリエ級数(2) フーリエ係数を複素表示でき,任意波形の複素フーリエ係数を算出できる。
6週 フーリエ変換 フーリエ変換の表す意味を理解し,任意波形のフーリエ変換を求めることができる
7週 フーリエ変換の性質 フーリエ変換の性質を使い、フーリエ変換を行うことが出来る。
8週 中間試験
2ndQ
9週 試験返却と解説
ラプラス変換の定義
ラプラス変換の定義を理解することができる。
10週 ラプラス変換の性質 ラプラス変換の諸性質を理解する。
11週 様々な時間関数のラプラス変換 様々な時間関数のラプラス変換を求めることができる。
12週 部分分数展開を用いた逆ラプラス変換 部分分数に展開して逆ラプラス変換を行うことができる。
13週 留数定理による部分分数展開 留数定理による部分分数展開を行うことができる。
14週 ラプラス変換の微分方程式への応用 ラプラス変換を用いて微分方程式を解くことができる。
15週 たたみ込み積分 たたみ込み積分の物理的な意味を理解して,伝達関数としてシステムを表現できる。
16週 期末試験
後期
3rdQ
1週 行列の基礎確認 行列の計算ができる。
2週 連立1次方程式 連立1次方程式の消去法による解法と解の構造を理解し, 関連する問題が解ける。
3週 ベクトル空間 ベクトル空間の公理について理解し,具体例についてベクトル空間であることを示すことができる。
4週 1次独立と1次従属 ベクトルの1次独立性について説明できる。
5週 1次独立な最大個数 ベクトル空間の1次独立なベクトルの最大個数を求めることができる。
6週 ベクトル空間の基と次元(1) ベクトル空間の基と次元について説明できる。
7週 ベクトル空間の基と次元(2) ベクトル空間の具体例について,基と次元を求めることができる。
8週 後期中間試験 出題された問題に対して適切に解答できる。
4thQ
9週 線形写像 線形写像の定義,線形性を理解し, 関連する問題が解ける。
10週 線形写像の階数と退化次数 線形写像に関する基本的な用語(核,像,階数,退化次数)を理解し, 関連する問題が解ける。
11週 線形写像の表現行列 基底による線形写像の行列表示を理解し,次元の低い具体例について求めることができる。
12週 固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトルの概念を理解し, 求めることができる。
13週 固有空間 固有空間の概念を理解し, 関連する問題を解くことができる。
14週 行列の対角化 具体的な行列に対して対角化できる。
15週 ジョルダン標準形 ジョルダン標準形がどのようなものかを理解し, 関連する問題を解くことができる。
16週 後期末試験 出題された問題に対して適切に解答できる。

モデルコアカリキュラムの学習内容と到達目標

分類分野学習内容学習内容の到達目標到達レベル授業週
基礎的能力数学数学数学整式の加減乗除の計算や、式の展開ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
因数定理等を利用して、4次までの簡単な整式の因数分解ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
分数式の加減乗除の計算ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
実数・絶対値の意味を理解し、絶対値の簡単な計算ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
平方根の基本的な計算ができる(分母の有理化も含む)。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
複素数の相等を理解し、その加減乗除の計算ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
解の公式等を利用して、2次方程式を解くことができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
因数定理等を利用して、基本的な高次方程式を解くことができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
簡単な連立方程式を解くことができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
2次関数の性質を理解し、グラフをかくことができ、最大値・最小値を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
分数関数や無理関数の性質を理解し、グラフをかくことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
簡単な場合について、関数の逆関数を求め、そのグラフをかくことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
累乗根の意味を理解し、指数法則を拡張し、計算に利用することができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
指数関数の性質を理解し、グラフをかくことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
指数関数を含む簡単な方程式を解くことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
対数の意味を理解し、対数を利用した計算ができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
対数関数の性質を理解し、グラフをかくことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
対数関数を含む簡単な方程式を解くことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
角を弧度法で表現することができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
三角関数の性質を理解し、グラフをかくことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
加法定理および加法定理から導出される公式等を使うことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
三角関数を含む簡単な方程式を解くことができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
三角比を理解し、簡単な場合について、三角比を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
一般角の三角関数の値を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
2点間の距離を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
内分点の座標を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
2つの直線の平行・垂直条件を利用して、直線の方程式を求めることができる。4前1,前2,前3,前4,前5,前6,前7,前8,前9,前10,前11,前12,前13,前14,前15,前16
ベクトルの定義を理解し、ベクトルの基本的な計算(和・差・定数倍)ができ、大きさを求めることができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
平面および空間ベクトルの成分表示ができ、成分表示を利用して簡単な計算ができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
平面および空間ベクトルの内積を求めることができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
問題を解くために、ベクトルの平行・垂直条件を利用することができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
空間内の直線・平面・球の方程式を求めることができる(必要に応じてベクトル方程式も扱う)。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
行列の定義を理解し、行列の和・差・スカラーとの積、行列の積を求めることができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
逆行列の定義を理解し、2次の正方行列の逆行列を求めることができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
行列式の定義および性質を理解し、基本的な行列式の値を求めることができる。4後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
線形変換の定義を理解し、線形変換を表す行列を求めることができる。3後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
合成変換や逆変換を表す行列を求めることができる。3後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16
平面内の回転に対応する線形変換を表す行列を求めることができる。3後1,後2,後3,後4,後5,後6,後7,後8,後9,後10,後11,後12,後13,後14,後15,後16

評価割合

試験小テスト合計
総合評価割合7525100
フーリエ変換131225
ラプラス変換121325
ベクトル空間25025
線形写像と固有空間25025