到達目標
1. 1変数の複素数の空間を把握し、種々の複素関数を理解する。
2. 複素の微分ができる。
3. 複素積分の値を求めることができる。
4. 複素積分を応用して、実の積分の問題を解くことができる。
ルーブリック
| 理想的な到達レベルの目安 | 標準的な到達レベルの目安 | 未到達レベルの目安 |
| 評価項目1 | 複素関数の軌跡を追跡できる。 | 複素関数の大きさ・偏角を求めることができる。 | 複素関数が把握できない。 |
| 評価項目2 | 正則関数かどうか判定でき、偏微分方程式を解いて、正則関数を構成できる。 | 正則関数かどうか判定できる。 | 正則関数であるかどうか判定できない。 |
| 評価項目3 | コーシーの積分表示と留数定理の同値性が把握でき、複素積分問題に十分対応できる。 | 公式、留数定理を使って複素積分を求めることができる。 | 複素積分が求めらない。 |
学科の到達目標項目との関係
教育方法等
概要:
3年次までに学習した微分積分学の延長として複素関数論を学ぶ。微分積分を複素数の範囲に拡張することの有効性と理論の広がりを実感していただきたい。
授業の進め方・方法:
授業の進度に合わせ、その都度レポート課題を与える。
注意点:
1. 微分積分学、特に、実多変数関数の微分積分をしっかりと復習しておくこと。
2. 適宜、演習を繰り返すこと。
授業の属性・履修上の区分
授業計画
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週 |
授業内容 |
週ごとの到達目標 |
| 後期 |
| 3rdQ |
| 1週 |
イントロダクション／集合論の基本と記法 |
複素関数論で用いる基本的な集合論の記法を理解できる
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| 2週 |
複素数と複素平面 |
複素数の複素平面での位置を掴むことができる
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| 3週 |
n乗根 |
ドモアブルの公式を用いてn乗根を求めることができる
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| 4週 |
複素関数(指数関数・三角関数・双曲線関数) |
複素数に拡張した指数関数・三角関数を複素平面上で認識できる
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| 5週 |
複素微分と正則関数 |
複素微分・正則関数の定義を理解し、複素関数が正則か否か判別できる
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| 6週 |
コーシー・リーマンの関係式 |
コーシー・リーマンの関係式を用いて、複素関数が正則か否か判別できる
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| 7週 |
複素積分，コーシーの積分定理 |
複素積分の定義を理解し，コーシーの積分定理を適用できる．
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| 8週 |
中間試験 |
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| 4thQ |
| 9週 |
コーシーの積分公式とテーラー展開 |
コーシーの積分公式を理解し，関数のテーラー展開の表示を求められる．
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| 10週 |
ローラン展開と留数定理 |
孤立特異点を持つ関数のローラン展開とそれにより定まる留数を用いて，積分の計算が実行できる．
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| 11週 |
実績分への応用 |
複素積分を応用して実績分の計算ができる．
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| 12週 |
複素積分の総合的演習 |
コーシーの積分定理，コーシーの積分公式，留数定理を用いた総合的な演習を行い，複素積分を計算できる．
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| 13週 |
正則関数と正則領域 |
一変数正則関数が豊富に存在できることを理解し，具体的に正則関数を構成できる，
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| 14週 |
多変数正則関数 |
一変数正則関数と多変数正則関数との差異を理解し，多変数のコーシー積分公式が使える．
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| 15週 |
振り返り |
講義全体の振り返りを行い，正則関数の判定，複素積分の計算演習を行う．
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| 16週 |
期末試験 |
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モデルコアカリキュラムの学習内容と到達目標
| 分類 | 分野 | 学習内容 | 学習内容の到達目標 | 到達レベル | 授業週 |
評価割合
| 試験 | 提出物等 | 合計 |
| 総合評価割合 | 70 | 30 | 100 |
| 基礎的能力 | 70 | 30 | 100 |
| 専門的能力 | 0 | 0 | 0 |
| 分野横断的能力 | 0 | 0 | 0 |